Cours de maths à partir de 9.90 €/heure
- Accueil
- Soutien maths - Fonction logarithme
Cours maths Terminale S
Il existe plusieurs façons d’introduire la notion de fonction logarithme népérien. Dans ce module, nous choisissons de la définir en tant que fonction réciproque de la fonction exponentielle.
1/ Introduction
Il existe plusieurs fonctions logarithmes.
Les plus connues sont la
fonction logarithme népérien et la fonction logarithme décimal.
La première est utilisée en mathématiques
et la deuxième qui permet de manipuler les puissances de 10
est surtout utilisée en sciences physiques, et plus particulièrement en chimie.
Il existe plusieurs façons d’introduire en mathématiques
la notion de fonction logarithme népérien :
Une première façon est de définir cette fonction comme la fonction réciproque
de la fonction exponentielle.
Une deuxième façon est de la définir
comme unique primitive de la fonction inverse s’annulant en 1.
Nous choisissons dans ce cours d’introduire le logarithme népérien
en tant que fonction réciproque
puis nous démontrerons que la fonction ainsi définie est bien l’unique primitive
de la fonction inverse s’annulant en 1.
2/ Rappels sur la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R qui a pour dérivée elle-même et qui prend la valeur 1 en 0.
D’un point de vue pratique,
cette définition et les premiers résultats qui en découlent peuvent être résumés ainsi :
La fonction exponentielle, notée exp :
- est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R .
- pour tout x : exp' (x) = exp (x)
- pour tout x : exp (x) > 0
- exp (0) = 1
Le nombre exp(1) étant noté e, (e ≈ 2,718)
la fonction exponentielle peut alors s’écrire sous la forme d’une puissance : .svg "Fonction logarithme - Cours maths Terminale (1)")
Tableau de variations complet de la fonction exponentielle :
La fonction exponentielle étant continue et strictement croissante sur R, d’après le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de R sur son intervalle image : ] 0 ;.svg "Fonction logarithme - Cours maths Terminale (3)")
[
3/ Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur l’intervalle ] 0 ;[
Cela signifie donc que tout réel x élément de ] 0 ;[
possède un unique antécédent y dans R par la fonction exponentielle.
Cet antécédent est noté : lnx , ce qui se lit « L »« N » de x
On fabrique ainsi la fonction réciproque de la fonction exponentielle,
notée ln et appelée fonction logarithme népérien
qui est définie sur ] 0 ;[ et à valeurs dans R.
:
1) On notera ln(2) sans parenthèses : ln 2 , mais on conservera la notation avec parenthèses propre aux fonctions pour ln(-3) par exemple.
2) La notation « ln » est donnée par les initiales de l’expression : « Logarithme Népérien ».
4/ Valeurs de référence
Utilisons la définition du logarithme népérien pour trouver les images de 1 et de e :
exp (0) = 1 Donc : ln 1 = 0
De même :
exp (1) = e Donc : ln e = 1
5/ Ecriture exponentielle
Pour tout réel x > 0 :
si y = ln x,
par définition, y est l’antécédent de x par la fonction exponentielle,
donc y vérifie : exp (y) = x
Autrement dit : exp (ln x) = x
D’où, pour tout x > 0 : eln x = x
Ce qui d’un point de vue pratique signifie que tout réel x strictement positif,
peut s’écrire : x = eln x
6/ Ecriture logarithmique
Pour tout réel y :
si ln x = y ,
par définition, y est l’antécédent de x par la fonction exponentielle,
donc x vérifie : x = exp (y)
Autrement dit : ln (exp (y)) = y
D’où, pour tout réel y : ln ey = y
Ce qui d’un point de vue pratique signifie que tout réel y,
peut s’écrire : y = ln ey
7/ Bilan pratique sur la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle ] 0 ; [
La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle ] 0 ; [
Un réel négatif ou nul ne possède donc pas d’image par la fonction logarithme.
La fonction logarithme népérien est à valeurs dans R.
La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle :
Pour tout x > 0 : y = ln x ⇔ x = ey
Valeurs de référence : ln 1 = 0 et ln e = 1
Pour tout réel x > 0 : : elnx = x
Autrement dit, tout nombre réel x > 0 possède une écriture exponentielle : x = elnx
Attention !
Les deux égalités ne sont donc pas toutes les deux vraies pour tout réel.
Une telle écriture est impossible pour x
0 car alors le nombre lnx n’existe pas. Pour tout réel y : ln ey = yAutrement dit, tout nombre réel y possède une écriture logarithmique : y = ln ey
Remarque :
Pour cette dernière propriété, nous utilisons la variable y pour cadrer avec notre schéma mais on peut également énoncer ce résultat sous la forme : pour tout réel x : x = ln ex
8/ Propriétés algébriques du logarithme népérien
Quels que soient a et b réels : ea x eb = ea+b
Et la fonction exponentielle étant une bijection de R sur ] 0 ; [ : ea = eb ⇒ a = b
De cette propriété algébrique sur la somme pour l’exponentielle, nous allons déduire une propriété algébrique sur le produit pour le logarithme :
Montrons que pour a et b strictement positifs :
a x b > 0 donc il possède une écriture exponentielle : a x b = eln(axb)
a et b étant eux aussi strictement positifs, ils peuvent s’écrire : a = eln a et b = eln b
D’où : a x b = eln a x eln b
Donc, d’après la propriété rappelée pour l’exponentielle : a x b = eln a + ln b
Par conséquent : eln (a x b) = eln a + ln b
D’où : ln (a x b) = ln a + ln b
Attention !
Les propriétés suivantes concernant le logarithme ne sont valables que pour a et b strictement positifs.
Comme nous venons de le voir :
l’exponentielle de la somme vaut le produit des exponentielles devient :
le logarithme du produit vaut la somme des logarithmes.
En raisonnant de la sorte, on peut déduire de chaque propriété algébrique de l’exponentielle
une propriété algébrique du logarithme népérien.
L’exponentielle de l’opposé vaut l‘inverse de l’exponentielle devient :
le logarithme de l’inverse vaut l’opposé du logarithme.
L’exponentielle de la différence vaut le rapport des exponentielles devient :
le logarithme du rapport vaut la différence des logarithmes.
Pour tout entier relatif n :
L’exponentielle du produit d’un nombre par un entier n vaut l’exponentielle de ce nombre puissance n devient :
le logarithme d’un nombre à la puissance n
vaut le produit du logarithme de ce nombre par n.
Cette propriété vraie pour tout entier relatif n, l’est également pour 
Or, rappel : 
d'où 
:
1) La fonction logarithme népérien possède les mêmes propriétés algébriques que l’argument d’un nombre complexe.
Ceci est logique car :
* Si x est un nombre réel strictement positif, il possède une écriture exponentielle : x = eln x
* Si z est un nombre complexe non nul, il possède une écriture exponentielle : z = reiarg z
Les fonctions ln et arg étant toutes deux en exposant d’une exponentielle,
elles héritent des mêmes propriétés algébriques, découlant de celles de l’exponentielle.
2) Si on choisit d’introduire la notion de fonction exponentielle en tant que primitive, ses propriétés doivent alors être démontrées sans passer par l’exponentielle.
Ceci fera l’objet d’un exercice pouvant être considéré comme un R.O.C.
9/ Résolution d’équations
La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur l’intervalle ] 0 ; [
Donc : La fonction logarithme népérien réalise une bijection de ] 0 ; [ sur R .
Conséquence :
Quels que soient a et b réels strictement positifs : ln a = ln b ⇔ a = b
:
sens direct :
soient a et b réels strictement positifs tels que : ln a = ln b
Posons : y = ln a = ln b et supposons : ln a .svg "Fonction logarithme - Cours maths Terminale (30)")
ln b
y possède alors deux antécédents sur ] 0 ;[ par la fonction ln.
Ce qui est impossible car la fonction ln est une bijection de ] 0 ; [ sur R.
sens réciproque :
si a et b sont strictement positifs tels que a = b alors lna = lnb.
Cette conséquence, couplée à l’écriture logarithmique de tout nombre réel, va nous permettre de résoudre les équations faisant intervenir un logarithme.
Exemple : pour résoudre (E) : ln x = 4
1° il faut chercher l’ensemble de définition de l’équation :
lnx est défini si et seulement si x > 0 donc : D (E) = ] 0 ; [
2° il faut écrire 4 sous forme logarithmique :
⇔ ln x = ln e4
⇔ x = e4 d'après la conséquence
3° il faut vérifier que la solution trouvée est dans l’ensemble de définition :
e4 > 0 donc e4 .svg "Fonction logarithme - Cours maths Terminale (34)")
D(E)
D’où : S = { 4 }.
10/ Résolution d’inéquations
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
Or sa fonction réciproque possède le même sens de variation donc :
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ] 0 ; [
Conséquence : sens réciproque : Exemple : pour résoudre (I) : ln x 2° il faut écrire 0 sous forme logarithmique :
Quels que soient a et b réels strictement positifs : ln a b ⇔ a Démonstration :
sens direct :
soient a et b réels strictement positifs tels que : ln a
si a > b alors comme la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ;[ : ln a > ln b
Ce qui est contraire à l’hypothèse, d’où : a b.
si a et b sont strictement positifs tels que a
Alors, comme la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; [ : lna .
Cette conséquence, couplée à l’écriture logarithmique de tout nombre réel, va nous permettre de résoudre les inéquations faisant intervenir un logarithme.
Remarque :
sur cet exemple, on pouvait bien entendu directement remplacer 0 par ln1.
1° il faut chercher l’ensemble de définition de l’inéquation :
lnx est défini si et seulement si x > 0 donc : D(1) = ]0 ; [
⇔ ln x
⇔ x 1 d’après la conséquence.
3° il faut réaliser l’intersection entre l’ensemble trouvé et l’ensemble de définition :
x 1 et x D(1) ⇔ 0
D’où : S = ] 0 ; 1 [
11/ Dérivée de la fonction logarithme népérien
Or, sa fonction réciproque possède les mêmes propriétés donc : La fonction logarithme népérien est continue, dérivable et strictement croissante sur ] 0 ;[
De plus, tout réel x >0 peut s’écrire : x = eln x
Dérivons la fonction composée qui est à droite : 
D’où : 
Or : 
, donc : 
. Par conséquent, pour x >0 :
Donc : 
La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; [ et pour tout x > 0 : 
De plus : ln1 = 0.
On retrouve donc bien que :
la fonction logarithme Népérien est la primitive de la fonction inverse qui s’annule en 1.
Remarque :
Tout ceci est cohérent puisque la fonction inverse étant strictement positive sur ] 0 ;[, on retrouve que la fonction ln est strictement croissante sur ce même intervalle.
12/ Autres fonctions logarithmes
Comme nous l’avons vu, pour a et b réels strictement positifs : ln(axb) = ln a +ln b.
On ne le démontrera pas mais plus généralement :
Si une fonction f, définie et continue sur ] 0 ; [ est telle que :
quels que soient a et b strictement positifs : f (axb) = f (a) + f(b)
alors il existe un réel k tel que pour tout x > 0 : f (x) = k lnx.
Remarques :
1) La fonction ln n’est donc qu’un cas particulier, correspondant à k = 1.
2) Il s’agit en fait d’une troisième façon de définir la fonction logarithme népérien :
Celle-ci étant la fonction f vérifiant l’équation fonctionnelle : f (axb) = f (a) + f (b) et pour laquelle f (e)=1.
C’est pour cette raison que le logarithme népérien est également appelé :
« logarithme de base e ».
Sur le même principe on définit une autre fonction logarithme: la fonction f définie, continue sur ] 0 ; [ vérifiant : f (axb) = f (a) + f (b) et f (10)=1.
Cette fonction logarithme de base 10 est appelée logarithme décimal et noté log.
Cherchons la valeur de k : log 10 = 1 donc : k ln10 = 1, d’où : 
Par conséquent, pour tout x > 0 :
Il est facile de démontrer que :
La fonction log possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln.
On peut alors en déduire la propriété la plus utile du log, à savoir :
pour tout entier n : log 10n = n log 10
La fonction log est dérivable sur ] 0 ; [ et pour tout x > 0 : 
Or 10 > 1 donc ln 10 > ln 1 car la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; [.
d'où ln 10 > ln 0
Remarque :
le fait que la position d’un nombre par rapport à 1 donne le signe de son ln deviendra évident quand, dans le prochain module, nous étudierons la fonction ln et tracerons sa courbe représentative.
Par conséquent :
La fonction log est strictement croissante sur ] 0 ; [ .
Rappel : pH = -log[H+]
Si l’on sait que la concentration en ions H+, d’une solution est d’à peu près 0,0003 , il est alors possible d’encadrer le pH de cette solution.
0,0003 = 3 x 10-4 d’où : 10-4 [H+] 10-3
Or, la fonction log est strictement croissante sur ] 0 ; [
donc : log 10-4 log [H+] log 10-3
-4 -3 d'où 3 pH
Sommaires
Vous avez choisi le créneau suivant :
Nous sommes désolés, mais la plage horaire choisie n'est plus disponible.
Nous vous invitons à choisir un autre créneau.
FAQs
Comment comprendre la fonction logarithme ? ›
La fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle. C'est une fonction qui comporte une asymptote verticale et dont le domaine est restreint. Lorsqu'on travaille avec la fonction logarithmique, on utilise plusieurs lois et calculs propres aux logarithmes.
Comment calculer la fonction ln ? ›Le logarithme du produit de deux nombres strictement positifs est la somme de leur logarithme : pour x > 0 et y > 0, ln (x × y) = ln x + ln y. alors ln xp =p. ln x (on peut étendre la propriété aux rationnels).
Quel est la différence entre log et ln ? ›On utilise la notation ln lorsque la base est le nombre e, comme l n = l o g e . La notation log est utilisée pour les autres bases. Par convention, si la base est 10, il n'est pas nécessaire de l'inscrire.
Quelles sont les propriétés du logarithme ? ›Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ et (lnx)' = 1 x . lnx − lna x − a = 1 a . 2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ . Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)' = 1 x > 0.
Quel est le logarithme de 2 ? ›Le logarithme de 2 est 0,301 03… ; le logarithme de 20 est 1,301 03… ; le logarithme de 200 est 2,301 03… ; dans la table, on lira simplement 301 03.
Comment passe de ln à log ? ›- log(N) = ln(N)/ln(10). -> C'est une formule de passage entre les différent logarithmes. Elle se généralise aux logarithmes de toutes bases.
Pourquoi on utilise ln ? ›L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté ln(). Le logarithme naturel ou népérien est dit de base e car ln(e) = 1.
Comment se débarrasser d'un log ? ›Dans le panneau de gauche, sous la section "Windows Log", on peut accéder à la plupart des journaux. Pour effacer tout type de log, sélectionnez-le, faites un clic droit et choisissez l'option "Effacer le log".
Pourquoi 10 log ? ›Le logarithme décimal ou log10 est le logarithme de base dix. Il est défini en tous les réels strictement positifs x. Le logarithme décimal est la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en 10.
Comment calculer le logarithme d'un nombre ? ›Le logarithme d'un quotient xy est égal à la différence des logarithmes du dividende et du diviseur : logbxy=logb(x) – logb(y), si si x>0 et y>0. Le logarithme d'une puissance xy est égal au produit de l'exposant y par le logarithme de x en base b : logb(xy)=ylogb(x), si x>0.
Quel est le premier logarithme ? ›
Les fonctions logarithmes sont introduites en 1614 par Napier (1550-1617), dont le nom, qui en latin s'écrit Neper, est à l'origine du terme de « logarithme népérien ».
Quel est l'inverse du logarithme ? ›L'antilogarithme est la fonction inverse du logarithme définit de telle sorte que n est l'antilogarithme de a si log n = а. D'ailleurs, la valeur de la base du logarithme par défaut est le nombre d'Euler, pour plus de facilité.
Quel est le logarithme de 100 ? ›Exemple d'un calcul d'un logarithme
Le résultat de l'équation est x = 2, car 10 2 = 100. Par conséquent, le résultat de log 10(100) = 2.
(Analyse, Mathématiques) Nombre pris dans une progression arithmétique et correspondant à un autre nombre pris dans une progression géométrique. Symbole : log. (Par extension) Fonction qui permet une telle correspondance.
Pourquoi ln e 1 ? ›Ce nombre est défini à la fin du XVII e siècle, dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel. Autrement dit, il est caractérisé par la relation ln(e) = 1 ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle, d'où la notation exp(x) = ex.
Comment calculer le logarithme en base 10 ? ›La fonction logarithme décimale se note comme suit : log(x) = ln(x)/ln(10). Ses propriétés algébriques sont similaires à celles du logarithme népérien, noté lui, "ln". Pour tout x > 0 et pour tout y ∈ R, log(x) = y <=> x = 10y ou encore log(10y) = y.
Pourquoi ln 1 )= 0 ? ›Il résulte du fait que ln est strictement croissante et tend vers +∞ quand x tend vers +∞ qu'il existe un unique nombre réel e>1 tel que ln(e)=1. En effet ln(1)=0.
Quand utiliser le ln ? ›La dernière formule peut-être utile quand on a une équation dont l'inconnue est en exposant : Ce genre de cas se retrouve surtout en probabilités, pense donc à utiliser la fonction ln dans les équations (ou même les inéquations) quand l'inconnue est en exposant.
Comment simplifier les ln ? ›- ln(ab) = ln(a) + ln(b),
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b),
- et puis la dernière, ln(a^b) = b*ln(a).
C'est par définition (quoique certains préfèrent définir l'exponentielle à partir du logarithme) le nombre dont l'exponentielle vaut zéro. C'est à dire le tel que . Ben y'a pas. L'exponentielle n'est jamais nulle, donc le logarithme népérien de zéro n'a pas de sens.
Comment on calcule LN 2 ? ›
Le logarithme népérien de 2, que l'on note ln 2, est égal à l'aire comprise entre l'axe (Ox) et l'hyperbole d'équation y = 1/x entre les abscisses 1 et 2.
Comment annuler un log 10 ? ›Si ma mémoire reste bonne, l'inverse de log10(X) c'est 10^(X) (10 exposant X).
Comment faire des logarithmes ? ›Dans le cas le plus simple, le logarithme compte le nombre d'occurrences du même facteur dans une multiplication répétée : par exemple, comme 1000 = 10×10×10 = 103, le logarithme en base 10 de 1000 est 3. Le logarithme de x en base b est noté logb(x). Ainsi log10(1000) = 3.
Quelle est la limite de ln ? ›La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+ ∞ [. De plus elle est strictement positive sur ]1;+ ∞ [ et.
Quel est la valeur de ln ? ›La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ln : 0;+∞⎤⎦⎡⎣→ ! Exemple : L'équation ex = 5 admet une unique solution. Il s'agit de x = ln5. A l'aide de la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée : x ≈1,61.
Comment enlever le log10 ? ›Si ma mémoire reste bonne, l'inverse de log10(X) c'est 10^(X) (10 exposant X). A+.